Memahami Hidrodinamika Israel-Stewart pada Ruang-Waktu yang Mengembang

Alam semesta pada fase sangat awal diasumsikan homogen dan isotropik pada skala terbesar. Sifat ini diterjemahkan secara matematis melalui metrik Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker, nan memasukkan aspek skala sebagai kegunaan waktu kosmik. Faktor skala ini menentukan jarak bentuk antar titik pada setiap saat. Laju perubahan relatif aspek skala terhadap waktu didefinisikan sebagai parameter Hubble, nan nilainya sangat besar pada era awal dan menurun seiring ekspansi. Fluida nan mengisi alam semesta saat itu adalah Plasma Kuark-Gluon, nan pada suhu di atas transisi fasa kromodinamika kuantum berperilaku sebagai medium dengan derajat kebebasan relativistik. Kepadatan daya dan tekanan fluida ini dihubungkan oleh persamaan keadaan nan mendekati radiasi murni, tetapi penyimpangan mini dari hubungan linier tersebut menjadi sumber utama kejadian disipatif. Dalam relativitas umum, fluida digambarkan oleh tensor energi-momentum nan kudu memenuhi persamaan kekekalan kovarian, nan ekuivalen dengan persamaan Euler relativistik untuk fluida ideal. Namun, ketika fluida mengalami ekspansi cepat, gradien kecepatan empat menimbulkan tegangan internal nan tidak dapat diabaikan. Tegangan ini muncul dalam corak tegangan geser, tekanan bulk, dan fluks kalor. Pada latar FLRW nan homogen, fluks kalor lenyap lantaran simetri, dan tegangan geser juga lenyap akibat isotropi ruang. nan tersisa hanyalah tekanan bulk, ialah bagian isotropik dari tensor tegangan disipatif nan muncul akibat perubahan volume fluida. Tekanan bulk ini menjadi variabel bergerak nan paling relevan dalam kosmologi awal. Dengan hanya tekanan bulk nan berkedudukan sebagai satu-satunya sumber disipasi di ruang-waktu simetris, maka persamaan nan mengatur perkembangan tekanan bulk itu sendiri kudu dirumuskan secara kausal, nan membawa kita pada struktur relaksasi orde kedua. Persamaan Relaksasi untuk Tekanan Bulk Hidrodinamika standar Navier-Stokes relativistik mengasumsikan bahwa tekanan bulk selalu sebanding dengan laju ekspansi volume, dengan konstanta proporsionalitas adalah viskositas bulk. Asumsi ini menghasilkan persamaan aljabar nan disebut hubungan konstitutif orde pertama. Namun, hubungan ini mempunyai kelemahan mendasar ialah dia meramalkan bahwa sinyal disipatif merambat dengan kecepatan tak hingga. Secara fisik, ini berfaedah bahwa jika terjadi perubahan mendadak dalam laju ekspansi, tekanan bulk bakal menyesuaikan diri secara instan di seluruh ruang, nan melanggar prinsip kausalitas relativistik. Untuk memperbaiki abnormal ini, Israel dan Stewart memperkenalkan persamaan diferensial orde dua nan mengandung turunan waktu dari tekanan bulk itu sendiri. Persamaan relaksasi Israel-Stewart untuk tekanan bulk mempunyai corak nan memuat tiga suku utama. Suku pertama adalah turunan kovarian waktu dari tekanan bulk dikalikan dengan waktu relaksasi. Suku kedua adalah tekanan bulk itu sendiri. Suku ketiga adalah suku sumber nan sebanding dengan negatif dari viskositas bulk dikalikan dengan laju ekspansi volume. Selain itu, terdapat suku tambahan nan melibatkan perkalian tekanan bulk dengan laju ekspansi, nan muncul lantaran kebutuhan agar persamaan tetap kovarian dan konsisten dengan norma kedua termodinamika. Waktu relaksasi dalam persamaan ini mempunyai makna fisis nan jelas: dia adalah skala waktu nan dibutuhkan oleh medium untuk mendekati keadaan keseimbangan termodinamika lokal setelah mengalami gangguan. Nilai waktu relaksasi tidak dapat ditentukan secara sembarang. Ia kudu memenuhi ketaksamaan nan melibatkan viskositas bulk dan entalpi fluida. Ketaksamaan ini muncul dari kajian kestabilan linier dan menjamin bahwa kecepatan perambatan mode disipatif selalu lebih mini daripada kecepatan cahaya. Dalam pemisah di mana waktu relaksasi mendekati nol, persamaan Israel-Stewart mereduksi menjadi hubungan Navier-Stokes. Dalam pemisah sebaliknya, ketika waktu relaksasi sangat besar dibandingkan skala waktu ekspansi, tekanan bulk berperilaku sebagai derajat kebebasan bergerak nan nyaris bebas, dan disipasi menjadi tidak efisien. Kedua pemisah ini memberikan gambaran komplit tentang perilaku medium di beragam rezim kosmologis. Setelah persamaan relaksasi ini ditetapkan, langkah selanjutnya adalah menggabungkannya dengan dinamika ekspansi kosmik, sehingga terbentuk sistem tertutup nan menghubungkan tekanan bulk, kepadatan energi, dan aspek skala secara simultan. Kopling dengan Ekspansi Kosmik dan Persamaan Evolusi Gabungan Ketika persamaan relaksasi Israel-Stewart digabungkan dengan persamaan kekekalan daya dan persamaan Friedmann nan mengatur aspek skala, diperoleh sistem tertutup dari tiga persamaan diferensial biasa dalam waktu kosmik. Variabel-variabelnya adalah aspek skala, kepadatan energi, dan tekanan bulk. Sistem ini berkarakter non-linier lantaran adanya suku perkalian antara tekanan bulk dengan laju ekspansi, serta lantaran persamaan keadaan nan mungkin berjuntai pada suhu dan tekanan bulk. Dalam regime relativistik ekstrem, kepadatan daya mendominasi tekanan ekuilibrium, tetapi tekanan bulk dapat mencapai nilai nan sebanding dengan kepadatan daya itu sendiri jika waktu relaksasi dan viskositas bulk berada pada rentang nilai tertentu nan ditentukan oleh teori medan kuantum pada suhu hingga. Prosedur standar untuk menganalisis sistem ini adalah dengan melakukan penskalaan variabel menggunakan parameter Hubble sebagai satuan gelombang alami. Variabel tekanan bulk dinormalkan terhadap kepadatan energi, dan waktu dinormalkan terhadap konstanta Hubble. Dalam variabel ternormalkan ini, persamaan perkembangan mengambil corak nan hanya berjuntai pada dua parameter tak berdimensi: rasio waktu relaksasi terhadap waktu Hubble, dan rasio viskositas bulk terhadap entropi dikalikan suhu. Kedua parameter ini menentukan seluruh perilaku kualitatif sistem. Analisis titik tetap menunjukkan bahwa sistem mempunyai titik ekuilibrium nan sesuai dengan fluida ideal, dan titik tetap lainnya nan sesuai dengan keadaan disipatif stasioner, di mana tekanan bulk mencapai nilai konstan dalam skala waktu kosmik. Stabilitas linier di sekitar titik-titik tetap tersebut ditentukan oleh nilai eigen dari matriks Jacobi. Untuk rentang parameter nan secara bentuk masuk akal, semua nilai eigen mempunyai bagian real negatif, nan berfaedah bahwa gangguan mini bakal mereda secara eksponensial. Namun, jika parameter waktu relaksasi terlalu mini alias terlalu besar, sistem dapat memasuki regime osilasi teredam alias apalagi regime tak stabil. Kondisi pemisah untuk stabilitas hiperbolik diperoleh dari persamaan karakter nan merupakan polinomial kubik dalam frekuensi. Syarat bahwa semua akar polinomial mempunyai bagian real negatif menghasilkan dua ketaksamaan nan melibatkan ketiga parameter sistem. Ketaksamaan ini membentuk wilayah dalam ruang parameter nan disebut wilayah stabilitas, dan wilayah ini telah dipetakan secara numerik untuk beragam pilihan persamaan keadaan. Dengan mengetahui titik-titik tetap dan wilayah stabilitas sistem campuran ini, kita sekarang dapat menghitung besaran turunan nan paling kritis, ialah laju produksi entropi nan dihasilkan oleh tekanan bulk selama seluruh fase ekspansi. Produksi Entropi dan Laju Disipasi dalam Koordinat Konformal Salah satu besaran paling esensial nan dapat dihitung dari solusi sistem Israel-Stewart adalah laju produksi entropi lokal. Dalam relativitas umum, divergensi empat-vektor arus entropi sama dengan sumber disipatif nan merupakan hasil kali antara fluks termodinamika dan style termodinamika. Untuk fluida dengan tekanan bulk, sumber entropi sebanding dengan kuadrat tekanan bulk dibagi hasil kali viskositas bulk dan suhu lokal. Karena tekanan bulk sendiri berevolusi menurut persamaan relaksasi, laju produksi entropi juga menjadi kegunaan waktu nan tidak sederhana. Pada fase awal ketika ekspansi paling cepat, tekanan bulk mencapai nilai maksimum, dan produksi entropi juga mencapai puncaknya. Setelah itu, tekanan bulk mereda menuju nol alias menuju nilai sisa nan kecil, dan produksi entropi menurun. Untuk memudahkan kajian pada latar FLRW nan mengembang, fisikawan sering menggunakan waktu konformal, nan didefinisikan melalui integral dari kebalikan aspek skala. Dalam koordinat konformal, metrik menjadi datar dikalikan dengan aspek skala kuadrat, sehingga persamaan gelombang untuk gangguan linier mengambil corak nan lebih sederhana. Dalam koordinat ini, persamaan Israel-Stewart untuk tekanan bulk dapat ditulis ulang sebagai persamaan osilator harmonik teredam dengan koefisien redaman nan berjuntai pada waktu. Koefisien redaman ini mengandung kontribusi dari viskositas bulk dan juga dari turunan aspek skala terhadap waktu konformal. Pendekatan ini sangat berfaedah untuk menghitung spektrum daya dari perubahan kepadatan nan dihasilkan oleh disipasi viskos pada era inflasioner alias era pasca-inflasi. Hubungan antara produksi entropi dan ekspansi kosmik mempunyai akibat langsung terhadap perkembangan suhu. Dalam fluida ideal, suhu menurun seperti kebalikan dari aspek skala. Dalam fluida disipatif, produksi entropi menambahkan panas ke dalam medium, sehingga laju pendinginan menjadi lebih lambat daripada kasus ideal. Perlambatan pendinginan ini dapat dimaknai secara matematis sebagai pergeseran relasi adiabatik menuju relasi non-adiabatik. Besarnya pergeseran ini ditentukan oleh integral waktu dari laju produksi entropi sepanjang sejarah ekspansi. Integral ini dapat dihitung secara analitik untuk kasus-kasus unik di mana viskositas bulk dan waktu relaksasi diasumsikan konstan alias mengikuti norma skala tertentu terhadap suhu. Setelah laju produksi entropi dan efeknya terhadap pendinginan kosmik terpetakan, pertanyaan mendasar nan perlu dijawab adalah apakah seluruh formalisme ini betul-betul memenuhi tuntutan kausalitas absolut dan stabilitas termodinamika, nan menjadi karakter pembeda utama hidrodinamika Israel-Stewart dibandingkan pendekatan sebelumnya. Kausalitas dan Kecepatan Sinyal dalam Medium nan Mengembang Aspek nan paling menentukan dari formulasi Israel-Stewart adalah sifat kausalnya. Untuk membuktikan kausalitas, para perumusnya menggunakan teori sistem persamaan diferensial parsial hiperbolik. Dalam ruang-waktu lengkung FLRW, metodenya adalah dengan mengubah sistem menjadi corak simetris, di mana matriks nan mengalikan turunan waktu berkarakter definit positif dan matriks nan mengalikan turunan ruang mempunyai nilai eigen nan terbatas. Proses simetrisasi ini memerlukan pemilihan variabel nan tepat, ialah kombinasi linier dari tekanan bulk, gradien suhu, dan laju ekspansi. Setelah simetrisasi, kecepatan karakter dari sistem dapat dibaca langsung dari nilai eigen matriks spasial. Kondisi bahwa semua nilai eigen tersebut berada dalam interval antara minus satu dan satu dalam satuan kecepatan sinar adalah agunan bahwa sistem memenuhi kausalitas absolut. Pada latar FLRW nan homogen, kecepatan sinyal tidak berjuntai pada posisi, tetapi dapat berjuntai pada waktu melalui parameter Hubble dan suhu. Namun demikian, selama ketaksamaan nan melibatkan waktu relaksasi dan viskositas bulk terpenuhi, kecepatan maksimum tetap di bawah kecepatan sinar pada setiap saat. Hal ini krusial lantaran jika kecepatan karakter melewati kecepatan sinar pada suatu epoch, maka kerucut sinar efektif dari medium disipatif bakal lebih lebar dari kerucut sinar gravitasi, nan bakal menimbulkan paradoks kausalitas. Penelitian tentang pemisah ini menunjukkan bahwa untuk QGP pada suhu di atas transisi fasa, kecepatan karakter maksimum berada pada urutan 0,4 hingga 0,6 kali kecepatan cahaya, sehingga memberikan margin keamanan nan cukup besar. Selain kausalitas, sistem Israel-Stewart juga memenuhi kondisi kestabilan termodinamika. Kondisi ini dirumuskan sebagai persyaratan bahwa perubahan mini dalam tekanan bulk tidak menyebabkan pertumbuhan entropi negatif. Dalam kerangka linier, kondisi ini diterjemahkan menjadi definit positif dari matriks kekakuan termodinamika, nan merupakan turunan kedua dari potensial termodinamika terhadap variabel-variabel ekstensif. Untuk fluida dengan tekanan bulk, matriks ini mendapat tambahan kontribusi dari turunan viskositas terhadap suhu dan kepadatan. Kontribusi ini memastikan bahwa setiap peningkatan tekanan bulk nan tidak wajar bakal segera dikompensasi oleh peningkatan produksi entropi, sehingga sistem secara alami kembali ke keadaan stabil. Dengan demikian, seluruh struktur matematika Israel-Stewart bisa memenuhi tuntutan kausalitas relativistik, juga konsisten dengan norma kedua termodinamika dalam corak lokalnya nan paling ketat. Semoga Bermanfaat dan Terima Kasih