Apakah Angka Itu Nyata? Perang Gagasan Antara Shapiro dan Resnik

Coba lihat tangan kamu. Ada lima jari. Sekarang tutup mata. Bayangkan nomor 5. Apa nan Anda lihat? Apakah nomor 5 itu sesuatu nan berdiri sendiri, seperti pohon alias batu? Atau nomor 5 hanya muncul lantaran kita membandingkan satu jari dengan jari lainnya?

Pertanyaan ini terdengar seperti iseng. Tapi di bumi makulat matematika, pertanyaan ini memecah para ahli filsafat paling tajam di abad ke-20 dan 21. Dua nama besar, Stewart Shapiro dari Ohio State University dan Michael Resnik dari University of North Carolina, mengusulkan jawaban nan berbeda. Keduanya sama-sama disebut strukturalis. Tapi mereka bentrok soal satu kata kecil, apakah struktur matematika ada sebelum benda-benda, alias hanya ada di dalam benda-benda?

Dalam tulisan ini, saya membujuk Anda duduk di bangku filosofis, mendengarkan dua guru besar top bumi berdebat, lampau Anda sendiri nan memutuskan siapa nan lebih masuk akal.

Strukturalisme Ante Rem: Angka Hanya Jabatan, Bukan Orang

Shapiro, dalam bukunya Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology (1997, Oxford University Press), memperkenalkan istilah ante rem structuralism. Kata ante rem dari bahasa Latin berfaedah “sebelum benda”. Shapiro berdasar bahwa struktur matematika seperti bilangan asli, bilangan real, alias ruang vektor, sudah ada dulu. Jauh sebelum ada manusia nan menghitung apel alias jari.

Bayangkan begini. Dalam sebuah kerajaan, ada kedudukan raja, menteri, dan penjaga gerbang. Jabatan-jabatan ini ada apalagi ketika bangku kerajaan kosong. Siapa pun nan duduk di bangku itu, dia menjadi raja. Tapi nan menentukan dia raja bukan darah alias sifat fisiknya. nan menentukan adalah posisinya dalam struktur kerajaan ialah di atas menteri, punya kewenangan memerintah, dan seterusnya.

Shapiro mengatakan nomor 2 itu seperti kedudukan raja. Angka 2 tidak mempunyai sifat intrinsik. Tidak ada “keduanya” di dalam diri nomor 2. nan ada hanyalah posisi 2 dalam struktur bilangan asli, 2 adalah penerus dari 1, pendahulu dari 3, dan hasil dari 1+1. Jika struktur bilangan original berubah, maka nomor 2 juga berubah maknanya.

Dalam jurnal Nous Vol. 40, No. 2 (2006), Shapiro menulis tegas: “Objek matematika tidak lebih dari tempat dalam struktur.” Pernyataan ini kontroversial lantaran menghilangkan “keberadaan diri” dari angka. Artinya, tidak ada nan namanya nomor 2 nan bisa Anda tunjuk di langit. nan ada hanyalah pola hubungan antar posisi.

Strukturalisme In Re: Resnik Menolak Hantu Struktur Tanpa Benda

Michael Resnik tidak setuju. Dalam bukunya Mathematics as a Science of Patterns (1997, Clarendon Press, Oxford), Resnik meluncurkan konsep in re structuralism. In re berfaedah “di dalam benda”. Resnik berdasar bahwa struktur matematika tidak bisa melayang-layang tanpa barang konkret nan membawanya.

Resnik mengambil contoh sederhana. Catur. Aturan catur adalah struktur dimana bidak bergerak lurus, kuda bergerak L, raja tidak bisa berada dalam skak. Tapi patokan catur tidak ada di angkasa. Aturan itu ada lantaran ada papan, ada bidak, dan ada dua orang nan duduk bermain. Hapus semua barang bentuk catur, hapus semua pemain, maka struktur catur lenyap. Struktur melekat pada sistem konkret.

Sama dengan bilangan. Menurut Resnik, bilangan tidak butuh “dunia ide” ala Plato. Bilangan muncul lantaran ada sistem konkret nan mempunyai relasi ialah satu batu lebih mini dari dua batu, dua batu lebih mini dari tiga batu. Manusia kemudian menangkap pola relasional itu dan menyebutnya struktur bilangan asli. Tapi tanpa batu, tanpa jari, tanpa hitungan, struktur itu mati.

Dalam jurnal Philosophia Mathematica (2001, Vol. 9, Issue 1), Resnik menulis “Struktur adalah properti dari sistem objek, bukan entitas nan berdiri sendiri.” Artinya, jika Shapiro mengatakan struktur mendahului objek, Resnik membaliknya menjadi objek konkret mendahului struktur. Struktur hanyalah langkah objek-objek itu terhubung.

Perbedaan Kunci: Apakah Struktur Bisa Eksis Sendirian?

Shapiro mengkritik Resnik, jika struktur hanya ada dalam benda, maka ketika semua barang konkret musnah (misalnya alam semesta hancur), apakah 2+3=5 menjadi salah? Shapiro bilang itu tidak masuk akal. Kebenaran matematika kudu tetap betul apalagi dalam skenario tanpa manusia dan tanpa batu.

Resnik membalas bahwa pertanyaan Shapiro salah arah. Kebenaran 2+3=5 adalah kebenaran tentang hubungan dalam sistem konkret apa pun nan mempunyai struktur tertentu. Selama ada sistem nan mempunyai relasi successor dan penjumlahan, maka pernyataan itu benar. Tidak perlu struktur kekal di luar ruang dan waktu.

Dalam debat mereka di Journal of Philosophy (2006, Vol. 103, No. 7), kedua tokoh ini mencapai titik buntu nan produktif. Tidak ada nan menang. Tapi justru di situlah keelokan makulat matematika dimana Anda diajak memilih sendiri.

Jadi Sebenarnya Matematika Mempelajari Apa? Objek alias Pola?

Kembali ke pertanyaan awal tulisan ini, apakah matematika mempelajari objek (angka) alias hanya struktur/pola?

Menurut Shapiro (ante rem), matematika murni mempelajari struktur. Objek seperti nomor 2 hanyalah gambaran dari posisi dalam struktur. Kamu tidak bakal pernah menemukan “angka 2” sebagai benda. nan Anda temukan hanyalah pola relasi bahwa sesuatu nan disebut 2 selalu berada di antara 1 dan 3 dalam urutan tertentu. Maka belajar matematika berfaedah belajar peta hubungan, bukan mengoleksi barang abstrak.

Menurut Resnik (in re), matematika mempelajari pola nan terwujud dalam sistem konkret. Angka tetap diperlukan sebagai entitas absurd hasil abstraksi dari pengalaman fisik. Tapi entitas itu tidak pernah berdiri sendiri. Mereka selalu melekat pada setidaknya satu sistem contoh nyata. Jadi matematika mempelajari struktur dalam objek, bukan struktur tanpa objek.

Dua konklusi ini tidak bisa disatukan. Tapi keduanya sepakat pada satu perihal bahwa matematika bukan studi tentang objek nan mempunyai sifat intrinsik. Tidak ada nan namanya “angka 2 itu sendiri”. nan ada hanyalah peran nomor 2 dalam keseluruhan jaringan relasi. Inilah revolusi strukturalisme: mematikan mitos objek matematika sebagai barang mandiri.

Kamu boleh memilih ante rem ala Shapiro jika Anda merasa kebenaran matematika kekal apalagi tanpa alam semesta. Atau Anda memilih in re ala Resnik jika Anda merasa matematika kudu selalu berpijak pada bumi nan bisa dialami. Tidak ada nan salah. Keduanya sama-sama diakui No 1 bumi dalam bagian ini. Tugasmu bukan menang alias kalah. Tugasmu adalah mengerti bahwa nomor nan Anda tulis di kitab tulis itu rupanya menyimpan perang makulat paling sengit abad ini.

Terima Kasih dan Semoga Bermanfaat 😁